Il Pasticciere della Logica

Gödel il pasticciere della logica

Una biografia spiega il genio di uno scienziato eccentrico: sposò una ballerina, per paranoia morì di fame

di Federico Peiretti

Molti matematici considerano Kurt Goedel il più grande logico della storia, secondo solo ad Aristotele, e la rivista Time, in un'indagine sui venti personaggi che hanno maggiormente influenza­to il pensiero del ventesimo secolo, colloca Gödel al nono posto, prima di personaggi famosi quali Enrico Fermi o Sigmund Freud.  Eppure il nome di Gödel non è molto noto al di fuori dell'ambiente scientifico, decisamente molto meno di quello di Albert Einstein (al primo posto naturalmente nell'elenco del Time), che è popolare quanto Pitagora o Archimede.

Gödel era un personaggio schivo e appartato che non ispirava molta simpatia.  Quando si trasferì dall'Au­stria negli Stati Uniti, nel 1940, all'Institute for Advanced Study di Princeton, ormai famoso in tutto il mondo per i suoi lavori, Gödel non riuscì a farsi molti amici.  L'unico con cui facesse lunghe camminate e accese discussioni era Einstein.  "Li vedevo conversare mentre si reca­vano assieme al lavoro - ricorda il premio Nobel Murray Gell-Mann ­formavano una strana coppia, co­me i due personaggi dei fumetti Mutt e Jeff, uno lungo e allampana­to e l'altro piccoletto: Gödel era così basso che Einstein al confronto sembrava un gigante.  Discutevano ovviamente di logica, poiché Ein­stein era rimasto profondamente impressionato dai risultati di Gödel.  E discutevano di relatività, che Gödel aveva studiato a fondo, elaborando anche un suo curioso, ma poco credibile, modello di Uni­verso, soggetto a rotazioni tali da creare anelli temporali che si sareb­bero chiusi su se stessi, consenten­do a un'astronave di compiere viag­gi nel passato e nel futuro.

Come presentare nel modo più semplice le idee di Gödel a chi non è del mestiere?  John L. Casti e Wer­ner DePauli, nella loro biografia Gödel, l'eccentrica vita di un genio (Cortina, pp. 200, L. 30.000) tenta­no un'impresa di alta divulgazione, dedicando la loro attenzione non tanto alla vita quanto all'opera di Gödel e all'influenza che ha avuto in campi quali l'informatica, l'intelligenza artificiale, la cosmologia, oltre naturalmente alla matemati­ca, nei successivi sviluppi, fino a quelli più recenti (Un'altra biografia di Gödel, Dilemmi logici, scritta dal curatore delle sue opere, John W. Dawson, è annunciata da Bolla­ti Boringhieri).

Gödel era nato a Brno, in Mora­via, nel 1906, e come racconta il fratello Rudolf, "era un bambino felice ma timido, molto sensibile, soprannominato "Herr Warum" (il signor Perché) a causa della sua enorme curiosità".  A otto anni una febbre reumatica lo aveva portato a studiare la sua malattia e a convin­cersi, nonostante le rassicurazioni del medico, che il suo cuore ne fosse stato irrimediabilmente danneggia­to. Questo, secondo il fratello, fu l'origine dell'ipocondria che avreb­be accompagnato Gödel per tutta la vita, insieme ad altre manie che progressivamente si sarebbero tra­sformate in paranoia.  Nel 1924 si trasferì a Vienna dove i suoi interes­si filosofici lo portarono a frequen­tare il Circolo di Vienna, il celebre gruppo di filosofi e scienziati che si riuniva ogni giovedì sera per dibat­tere sulle diverse teorie della "veri­tà" scientifica, esperienza che ebbe profonda influenza sui suoi studi.

Casti e DePauli per spiegare il lavoro di Gödel inventano la MTC, una divertente Macchina per le Torte di Cioccolata.  Noi infiliamo nella MTC uova, farina, latte, cioc­colata e tutti gli altri ingredienti, insieme a una ricetta e ne esce la torta.  Ma come dev'essere questa macchina?  Prima di tutto deve esse­re "affidabile" nel senso che, intro­dotti gli ingredienti e la ricetta, produca soltanto torte di cioccolato e nient'altro. Dobbiamo naturalmente stabilire un rigoroso criterio di riconoscimento delle torte di cioccolata, in modo che soltanto queste, secondo il linguaggio della logica, siano "vere", mentre tutte le altre torte, ad esempio quelle alle fragole o alle nocciole, risultino "false" (Nanni Moretti sarebbe sicu­ramente d'accordo su questa distin­zione).  Ma, oltre all'affidabilità, di­cono Casti e DePauli, la MTC deve avere un'altra proprietà, la "totali­tà", dovrebbe cioè poter produrre tutte le possibili torte di cioccolata.  Se qualcosa è una torta di cioccola­ta, la macchina dev'essere in grado di produrla.  E arriviamo alla que­stione più importante: è possibile costruire una MTC?  Siamo in grado di dimostrare che la torta uscita dalla macchina è "vera" torta di cioccolata oppure che è "falsa"?  E la dimostrazione è la ricetta.  Ad esem­pio, per dimostrare che la "Sachertorte" è una torta di cioccolata, basterà scriverne la ricetta, senza che sia necessario produrre materialmente la torta.  A questo punto ci chiediamo: tutte le torte hanno una ricetta, oppure esistono torte di cioccolata per le quali non è possibile dare una ricetta?

Queste idee, all'apparenza biz­zarre e lontane mille miglia da qualsiasi problema scientifico, riflettono invece uno dei problemi fondamentali della filosofia della scienza: è possibile dimostrare che ogni proposizione è vera o falsa?

Fino al  1931 non soltanto tutti i pasticcieri, ma anche tutti i matematici erano pronti a sostenere che ci fosse una ricetta per qualsiasi torta di cioccolata.  In quell'anno, fondamentale nella storia della ma­tematica, Gödel dimostrò invece, in modo inequivocabile, che non c'è una ricetta per ogni torta ovvero, matematicamente, che non sempre ciò che è vero ( ... la torta) è dimostra­bile ( ... la ricetta).

Gödel ha buttato all'aria un mo­do di procedere e di ragionare che risale all'antica Grecia e che si fonda sulla determinazione di una serie di asserzioni iniziali, gli assio­mi, ritenuti così semplici e intuitivi da non suscitare dubbi sulla loro validità.  Successivamente, da que­sti assiomi si cerca di ricavare una dimostrazione per stabilire la veri­tà o la falsità di un'affermazione.  Gödel, con il suo Teorema dell'in­completezza, ha provato che non è possibile avere assiomi sufficienti per dimostrare tutto.  Avremo sem­pre qualche problema non dimo­strabile e cosa ancor più grave, non potremo neanche essere certi che nella scelta dei nostri assiomi non ci sia già qualche errore d'incompa­tibilità.  La conclusione?  Lasciamo­la a Bertrand Russell, ad un suo famoso epigramma: "La matemati­ca pura è la disciplina in cui non sappiamo di che cosa stiamo parlan­do, né se quello che stiamo dicendo è vero".  I risultati di Gödel furono un'autentica rivoluzione e provoca­rono grande incertezza e depressio­ne fra i matematici.  Weil, un altro grande matematico del Novecento, disse: "Dio esiste poiché la matema­tica è coerente, e il diavolo esiste dato che non possiamo dimostrare la sua coerenza".  Gödel ha tolto alla matematica la sua innocenza.

Nel 1938, prima di trasferirsi definitivamente negli Stati Uniti, a Princeton, Gödel aveva sposato, contro la volontà della sua famiglia, una ballerina viennese, cono­sciuta in un night club, Adele Nim­bursky, che aveva già un matrimo­nio sfortunato alle spalle.  Una bella donna che considerava l'Istituto di Princeton come "una casa di riposo per anziani" e che Morgenstern definì impietosamente come "la classica lavandaia viennese, garru­la, incolta ed egocentrica". In realtà fu l'ancora di salvezza per Gödel, l'unica ad essergli vicina nei mo­menti in cui, sopraffatto dalle manie, temeva che il frigorifero sprigionasse gas velenosi o che il suo cibo fosse stato avvelenato da qualcuno.  Purtroppo le condizioni psichiche di Gödel andarono sempre più peg­giorando e, travolto dalla paranoia, arrivò a rifiutare qualsiasi cibo.  Quando morì nel 1978, pesava sol­tanto  trentacinque chili.

Tragico destino il suo, drammatico come quello di Alan Turing, che è l'altro protagonista del libro di Casti e DePauli e che si uccise mangiando una mela avvelenata, che lui stesso aveva preparato, immergendola nel cianuro.  I lavori di Gödel e di Turing sono strettamente intreccia­ti e non è possibile capire uno senza studiare anche l'altro. Turing tra­sportò infatti sul computer i risulta­ti di Gödel e dimostrò, con argomen­ti simili a quelli di Gödel, che è impossibile costruire un computer che stabilisca la verità o la falsità di tutte le proposizioni matematiche.  Data una congettura non possiamo essere sicuri che esista un programma in grado di verificarla in un numero finito di passi.  Non è possibile stabilire a priori se un dato programma è in grado di completa­re in un tempo finito il suo compito.

Il fatto che il computer non sia in grado di risolvere un'infinità di congetture, vuol forse dire che la nostra mente è superiore al compu­ter, poiché noi siamo in grado di costruire metasistemi, con assiomi intuitivamente corretti, che posso­no risolvere tali problemi?  Su que­sto tema d'attualità si scontrano scienziati come il fisico matematico Roger Penrose, che difende la tesi della superiorità della mente uma­na, contro chi ritiene invece che sia possibile costruire un computer in grado di scoprire metasistemi iden­tici a quelli trovati dall'uomo.  La verità matematica, dice Roger Penrose, è qualcosa che va al di là del mero formalismo.  Il nostro cervel­lo non ragiona come un computer, abbiamo sempre bisogno del nostro "intuito matematico", e non soltan­to nella fase iniziale, per la costruzione di un sistema formale di riferimento.

Gödel però non riteneva affatto che il suo teorema escludesse uno sviluppo dell'Intelligenza Artificiale. Affermava infatti: "Resta la possi­bilità che esista (e possa persino essere scoperta empiricamente) una macchina dimostrativa che di fatto è equivalente all'intuizione matematica (alla mente umana), anche se non è possibile dimostrar­lo, né è possibile dimostrare che essa fornisce solo teoremi corretti della teoria dei numeri". in altre parole, secondo Gödel, se mai riusciremo a costruire un computer potremo intelligente, non lo potremo capire. Sarebbe troppo complesso per noi.