Logica classica

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La logica classica è la branca della logica formale che è stata più studiata e usata. È caratterizzata da certe proprietà; le logiche non-classiche sono quelle che non soddisfino ad una (o più) di queste proprietà, ovvero:

1. Principio del terzo escluso;
2. Principio di non-contraddizione;
3. Monotonia dell'implicazione e idempotenza dell'implicazione;
4. Commutatività dei connettivi;
5. Leggi di De Morgan: ogni operatore logico è duale ad un altro.

Esempi di logica classica

• L'Organon di Aristotele presenta la teoria dei sillogismi, che è una logica con una ristretta schiera di proposizioni: le asserzioni prendono una delle quattro forme, Tutte le P sono Q, Qualche P è una Q, Nessuna P è Q, e Qualche P non è Q. Queste proposizioni sono composte da coppie di operatori duali, e ogni operatore è la negazione di un altro, relazioni che Aristotele ha classificato con la sua tabula. Per giustificare il suo sistema Aristotele ha enunciato esplicitamente il principio del terzo escluso e la legge di non contraddizione, nonostante queste leggi non possano essere espresse all'interno del formalismo sillogistico.

Secondo il principio del terzo escluso per ogni cosa A può essere o B o non B, nessun altro stato di verità è possibile.

Più formalmente si dice che per ogni proposizione avremo che è un'affermazione sempre vera (è una tautologia).

• La formulazione algebrica della logica di George Boole ed il suo sistema di logica booleana; in essa si assegna ad ogni proposizione un valore numerico, 1 per codificare la verità, 0 per codificare la falsità.

Logiche non classiche

• La logica intuizionista nega la legge del terzo escluso e una delle leggi di De Morgan;
• La logica quantistica nega il principio di non-contraddizione e sostiene il principio di complementare contradditorietà.
• La logica paraconsistente nega il principio di non-contraddizione;
• La logica sfumata (o fuzzy logic), e la logica polivalente in genere, negano il principio del terzo escluso. La logica sfumata, inoltre nega una forma debole del principio di non-contraddizione, pur rimanendo consistente;
• La logica costruttivista identifica strettamente la verità con la dimostrabilità: è il fondamento del Costruttivismo matematico.
• La logica lineare nega la monotonia dell'implicazione e l'idempotenza dell'implicazione;
• La logica non-monotona nega la monotonia dell'implicazione
• La logica della computabilità è una teoria formale della computabilità costruita semanticamente, che si oppone alla logica classica, che è una teoria formale sulla verità; integra, ed estende, la logica classica, intuizionista e lineare;
• La logica modale estende la logica classica con operatori modali.